揭秘:轻松学会幻方构建技巧
幻方,这个听起来既神秘又充满智慧的名词,其实是一种充满趣味和挑战性的数学排列游戏。简单来说,幻方就是一个n×n的方阵,里面填满了从1到n^2的自然数,而且在这个方阵中,每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等,这个和被称为“幻方常数”或“幻和”。
幻方的构建方法因n(方阵的阶数)的奇偶性不同而有所区别。下面,我们就来一一揭开这些构建方法的神秘面纱。
奇数阶幻方的构建
奇数阶幻方,也就是方阵的阶数为奇数的幻方,比如3阶、5阶、7阶等。对于这类幻方,我们可以采用“连续摆数法”来构建。
具体步骤如下:
1. 先画一个n×n的方阵表。
2. 把数字1放在最顶行中间一列的方格中。
3. 从2开始,依次把数字按对角线方向(比如从左下到右上的方向)放入方格中。如果碰到顶,则折向底;如果到达右侧,则转向左侧;如果进行中轮到的方格中已有数或到达右上角,则退至前一格的下方。
以5阶幻方为例,我们可以按照上述方法,依次填入数字,最终得到一个每行、每列以及两条对角线上数字之和都为65的5阶幻方。
4阶幻方的构建
4阶幻方,也就是4×4的方阵,其构建方法相对特殊,我们可以采用“对角线法”。
具体步骤如下:
1. 先画一个4×4的方阵表。
2. 按从上到下、从右向左(或从左到右、从上到下)的次序把1到16填入方阵中。
3. 将两条主对角线上元素按中心轴对称原则互相交换,即1和16互换、6和11互换、4和13互换、7和10互换。
经过这样的交换,我们就得到了一个幻和为34的4阶幻方。
6阶及双偶数阶幻方的构建
6阶幻方及双偶数阶幻方(即n=2·2m形式的幻方,如8阶、12阶等)的构建相对复杂一些,我们可以采用“斯特雷奇法”或“对称法”。
以6阶幻方为例,具体步骤如下:
1. 将6阶幻方分成ABCD四个3阶幻方。
2. 按ABCD的顺序,用“连续摆数法”将每个3阶幻方填上数字,A填1-9,B填10-18,C填19-27,D填28-36。
3. 将A中的8、5和4分别和D中的35、32和31交换,形成6阶幻方。
而对于双偶数阶幻方,如8阶幻方,我们可以采用“对称法”。具体步骤如下:
1. 将8阶幻方分成上、下、左、右四个小方阵。
2. 在左上角方阵中布点,每行每列任取一半方格打上“○”号。
3. 向其余三个方阵映象,使每个小方阵中各有一半方格被“○”所占据。
4. 按n^2的值往方阵中填写数字,但遇到布了“○”点的方格,不填,跳过。
5. 这个过程结束后,从右下角开始,用与刚才相反的方向再一次往方阵中填数,这次是只填布点的方格,已有数的方格被封锁不填。
由于布点方法的对称性,第二遍填数正好用上第一遍填数中被跳过的数,最终得到一个幻和为260的8阶幻方。
单偶数阶幻方的构建
单偶数阶幻方,即n=2(2m+1)形式的幻方,如6阶(虽然6阶也可以用斯特雷奇法构建,但这里介绍的是另一种方法)、10阶等,我们可以采用“LUX法”。
具体步骤如下:
1. 为了构成2(2m+1)阶的幻方,先构成一个(2m+1)阶的方阵。
2. 在方阵中上面m+1行方格中央都标一个L,接下去一行标U,余下的m-1行标X。
3. 把中间的那个U和它上面的L交换一下。
4. 把中央标有字母的方格都用十字线分成4个小方格,使方阵变成所需的2(2m+1)阶方阵。
5. 填数从1顺序开始,每4个数为一组填入中央标有字母的一个单元(即4个小方格)中。
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